単振動をマスターする 基礎を固める2【東大物理対策を始める前に】

【東大物理対策を始める前に】単振動 基礎を固め1-2
勉強法

こんにちは!

ポンさんです!

今回は、物理の勉強第二段です。

単振動は分かってしまうと結構簡単なので得点源にしてしまいましょう。

単振動の問題を最短で解く!まずは実力を確認

この問題の解説、解き方をすぐ下に紹介しています。

その意味が分かる人はこの記事は必要ないので、別の勉強を進めましょう。

まずは自分で解いてみてくださいね。

問題高さhのウキがある。水面に浮かべると、h/3だけ頭を出して静止した。

ウキの底面を水面と一致するように持ち、静かに離す。
ウキの単振動の問題
問1
ウキが沈んでいき、ウキの上面と水面が一致した時の速さを求めなさい。

問2
ウキがさらに沈んでいき最下点にきた時、ウキの上面と水面下の距離を求めなさい。

解答しますよ。

まず、ウキが水面下と重なる部分がある範囲では単振動する。

(運動方程式を立ててから気付いても良い。)

ウキを持ち上げ静かに離す、その瞬間での速度は0なのでその位置で振幅は最大である。

振動中心からの距離を考えれば振幅Aは2h/3とわかる。

ちなみに、単振動の最大速度はAw(振幅×角振動数)

まずは問1

ウキの上面が水面と一致した時の、振動中心からの距離は振幅の1/2。

よって、その時の速さは最大速度Awの√3/2倍なので<√3/2×Aw

次は問2

ここで注意すべきはウキが全て沈んだ後では単振動でなくなる点。

等加速度運動になる。

初速が先ほどの√3/2×Awで加速度が-g/2であることから、求める距離はh/2と求まる。

どうでしょうか。

単振動がよく分かっていればエネルギー保存則など使わなくても解けてしまうのです。

ポン三
解答では一応、エネルギー保存則より、、と書いておいた方が良いかも知れません。

単振動の微分方程式は見れば分かる!一般解を覚える

さて単振動をマスターしていきましょう。

基本的に単振動が出てくる問題は力学の物体の運動と電磁気の電荷の移動の二種類です。

運動方程式や回路の方程式を整理して出てきた式が特別な形になった時、ある物理量が単振動します。

これが便利なのは式を見ただけで「単振動するな」と分かるからです。

また逆に問題の設定から「単振動するな」と分かれば、導いた式が実際に単振動の微分方程式になることで安心できるのです。

特別の形とは、以下のような微分方程式のことです。

単振動 微分方程式

単振動の微分方程式とは
xをtで二回微分したものが、xの定数倍(負)になるものです。( xは他の変数でも構いません。)

加速度が、位置の定数倍(負)と見ることもできます。

この意味は基準点(つり合いの位置)に対し、今いる位置の反対側に移動しようとするよということです。

想像すると確かに振動しそうじゃないですか?

このあと説明しますが回路の単振動では、位置xではなく電荷量qが振動します。

単振動の微分方程式の一般解を覚えて使う。

単振動がsin関数またはcos関数で表されることは知っているんじゃないですか?

位置xが単振動するとするれば、x=Asin(ωt+φ)となります。

結論から言えば、振動状態は下の図のようになるので、初期条件に合うようにAとφを決めればいいことになります。

単振動 グラフ

さらにだいたいの問題では、キリの良いところが初期条件として与えられるので、φはφ=0,30,45,60,90などキリが良いものになります。

後に具体例で見てみましょう。

単振動の微分方程式の導出

導出というより、この一般解が確かにこの微分方程式の解であることを確認しておきましょう。

一般解がそのものが大事なので、興味なければ読み飛ばしても構いません。

単振動 一般解 導出

この一般解は、x=Asin(ωt+φ)と表しても同じ意味です。

合成すれば確認できます。

単振動の問題を早く解くコツ!バネ付き物体で確認

単振動の微分方程式が出てきた時点で振動することは分かるので、初期条件より未知量2つを求めれば解が決まることになります。

未知量2つとは、x=Asin(ωt+φ)でいうAとφです。

(ωは上で見てきたように微分方程式の右辺をみれば分かります。)

ここでは初期条件から、未知量2つをスムーズに求める方法を解説します。

位置xがtの関数として求められれば、速度vはxをtで微分すれば出てきますから。

(vについてはもっと簡単に求めることもできます。)

振幅の角振動数倍つまりAωが最大速度Vmaxとなる

振幅(最大変位)と最大速度の関係はこんなに単純なのです。

下の式で確認しましょう。

単振動 最大速度と振幅の関係

ωはもともと分かっているので、初期条件より一方が分かればもう一方も分かるのです。

この公式の活躍は

  • 振幅が分かれば、最大速度が分かる。
  • 最大速度が分かれば、振幅が分かる。

位置が最大なら速度0・位置が0なら速度が最大

ここでいう位置とは、つりあい中心からの位置(距離)のことを表しています。

速度最大で変位0・速度0で変位最大

この図のイメージが描けるかも大事です。

運動状態を考えれば当たり前ですね。

位置の変位が最大になった時、物体は一度静止して折り返し運動をします。

また、物体は振動中心に向かって力を受けているので中心に向かう時加速され、中心を通り過ぎると減速します。

なので物体が振動中心を通る時が速度最大になりますよね。

変位で位置から速度を求める

これを活用すれば、いちいちエネルギー保存則を解かなくてよくなります。

物体が振動中心にいる時、変位最大の位置にいる時の速度と位置の関係については学びました。

それでは、物体がそれ以外にいる場合についてはどうでしょうか?

例えば、物体が最大変位の1/2倍にいる時は速さは最大速度の√3/2倍になります。

速さの向きは前後の運動状況を考えれば分かります。

また、物体が最大変位の√3/2倍にいる時は速さは最大速度の1/2倍になります。

よく出る二つ例をあげました。

ポン三
先程の、位置と速度のグラフをみれば分かりますよ。

振動中心を軸の原点にとる

座標は自分で決めているんだという感覚はありますか?

これが分かっていると楽になるので、良かったら前回の記事を読んでみてください。

単振動において、原点をどこに設定するかは重要です。

具体例を出しながらみていきましょう。
単振動 振動中心
原点をバネの自然長にとり運動方程式をたてると上のようになります。

加速度が0のところが振動中心になるのは分かりますか?

加速度が0になる位置から少しズラした位置で物体にかかる力の向きを考えてみてください。

いずれも加速度0になる位置の方へ向かって力がかかっていると思います。

よってここが振動中心なのです。

そして、原点はどこにとっても良いので今度は振動中心にとってみましょう。

単振動振動中心原点
確かに見やすくなりましたがそれ以上のメリットを感じていないのではないでしょうか?

それは後々説明するとして今は、

「単振動だって他の問題と同じように好きな位置に原点をとって運動方程式を立てる事が出来るんだ。」

って事を理解をしておいてください。

初期条件から現象を想像し解を求める

初期条件から運動を想像し、だいたいはAsinwt、Acoswtのいずれかになるので、そのAを決めてやればいいのです。
初期条件(静かに離す)
もう一つ見て見ましょう。
初期条件(初速あり)

【練習問題:電磁気】回路の単振動

次のような問題設定を考えてみましょう。

回路振動 問題設定

この状況でどのような現象が起こるか方程式を立てて解いてみましょう。

回路振動 解法

どうでしょう。

コイルとコンデンサーを繋ぐと振動するよ、という問題は典型なので覚えておくと良いでしょう。

回路の方程式を正しく立てる方法など電磁気については別の記事でまとめます。

単振動のエネルギー保存則が2つあるのは運動方程式が2つあるから

まずは運動方程式から出発して、一般的なエネルギー保存則を導きます。
運動方程式からエネルギー保存則を導く
これがつまりエネルギー保存則なんです。

ポン三
()の中身が保存する。そんなイメージです。

難しくないでしょう?

では、単振動の運動方程式からエネルギー保存則を導きましょう。

まずはバネの自然長を座標原点とした場合の運動方程式からです。
自然長原点のエネルギー保存則
次に、振動中心を座標原点とした場合の運動方程式からエネルギー保存則を導きましょう。
振動中心原点のエネルギー保存則
これらは同じ現象についてのエネルギー保存則なので、どちらも同じものを表しています。

ポン三
xからXにした座標変換を代入すれば、一致するので試してみてください。

実際に問題を解くときはこれらどちらを使っても良いことになります。
2種類のエネルギー保存則
しかし、圧倒的に下のものを使ったほうが簡単になります。

考えるべき項が二つだけですから。

下の保存則を使えば、今の速度の大きさ振動中心からの距離、この二つだけを気にすれば良いのです。

(どうせ二乗するので絶対値だけで良いですよね。)

一方で、上の保存則を使うと、速度の大きさは等しいですが、xの値が異なります。

原点を自然長にとっているのでややこしいことになります。

一応エネルギー保存則についても確認しましたが、位置と速度の関係を考えれば、一方が求められてしまう事がほとんどです。

単振動は簡単なので、今回やった事をマスターしておけばスムーズに点を稼げると思いますよ。

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